【小金井市の個別指導塾・聡生館】2学期の算数・数学を変える「論理的思考」と「図形の直観力」の育て方 ― 答えを覚えるのではなく、「考え方が見える子」になるために ―|小金井市の学習塾なら個別指導学習塾「聡生館」＆学習支援・フリースクールの「スプラウツ」

― 答えを覚えるのではなく、「考え方が見える子」になるために ―

8月も中旬を迎え、聡生館の夏期講習も後半へと入ってきました。夏休みに復習した内容を、どのように2学期の学習へつなげていくかを考える大切な時期です。

算数・数学の成績を伸ばすために、多くの子どもたちは計算練習や公式の暗記に取り組みます。もちろん、正確な計算力や基本公式の理解は欠かせません。しかし、学年が上がり、問題が複雑になるほど、それだけでは解けない問題が増えてきます。

そこで必要になるのが、「論理的思考力」と「直観力」です。

一見すると、論理と直観は反対の能力のように思えるかもしれません。しかし、数学において、この二つは車の両輪です。

直観によって「このように考えれば解けるのではないか」と道筋を予想し、論理によって、その考えが正しいかどうかを一つずつ確かめる。優れた数学的思考とは、この往復運動によって生まれます。

■算数・数学における論理的思考とは何か

論理的思考とは、単に難しいことを考える能力ではありません。

「なぜ、そうなるのか」
「何が分かっているのか」
「何を求めなければならないのか」
「そのために、どの条件を使えばよいのか」

このように、物事を順序立てて考え、根拠と結論をつなげる力です。

算数・数学が苦手な子どもには、問題文を読んだ直後に数字だけを拾い、すぐに計算を始める傾向が見られます。「足すのか、引くのか」「この公式を使うのか」と、操作ばかりを考えてしまうのです。

一方、数学的に考えられる子は、すぐには計算を始めません。まず、分かっていることと分からないことを整理し、問題全体の構造を捉えようとします。

この違いが、文章題、関数、証明、図形、確率など、2学期以降に学ぶ単元で大きな差となって表れます。

■論理的思考力を養う第一歩は「説明すること」

論理的思考を育てる最も効果的な方法の一つは、解き方を言葉で説明することです。

正解した問題でも、「どうして、その式を立てたのか」「なぜ、その公式を使ったのか」を説明させてみると、実は十分に理解していない場合があります。反対に、途中で計算を間違えていても、考え方を説明できていれば、理解の土台はできています。

聡生館の個別指導では、答えが合っているかだけではなく、そこに至るまでの思考の過程を大切にしています。

「最初に何を考えたのか」
「どの条件に注目したのか」
「ほかの解き方はないか」
「この式は何を表しているのか」

こうした問いかけを重ねることで、子どもは自分の頭の中にある曖昧な考えを、言葉として整理できるようになります。

ノートに式だけを書くのではなく、短くてもよいので、「全体から不要な部分を引く」「同じ長さに注目する」「比例の関係を使う」など、考え方を一行書き添えることも有効です。

これは、自分の考えを自分で確認する「思考の見える化」です。

■図形問題に必要な直観力は、生まれつきの才能ではない

図形問題を見ただけで、補助線の引き方や使うべき性質に気づく子がいます。その様子を見て、「図形のセンスは生まれつきのものだ」と考える人もいるかもしれません。

しかし、数学における直観力の多くは、経験によって育てることができます。

ここでいう直観とは、理由もなく答えを思いつく力ではありません。過去に学んだ図形の性質や解法の型が頭の中に蓄積され、それらが目の前の問題と瞬時につながる力です。

つまり、直観力とは「学習された気づき」なのです。

図形問題が得意な子は、図を見たときに、ただ眺めているのではありません。

「平行な線はないか」
「同じ長さや同じ角度はないか」
「対称な形として見られないか」
「三角形に分けられないか」
「図形を移動、回転、反転できないか」
「面積が等しくなる部分はないか」

こうした視点を無意識に働かせています。

この見方を一つずつ意識的に練習すれば、図形が苦手な子どもでも、次第に「どこを見るべきか」が分かるようになります。

■図形の直観力を育てる五つの方法

第一は、図を自分の手で描くことです。

印刷された図を見るだけではなく、条件を確認しながら自分で描き直すことで、辺の関係や角度、図形の重なりに気づきやすくなります。上手に描く必要はありません。大切なのは、条件を図へ正しく移すことです。

第二は、分かっている情報を図に書き込むことです。

等しい辺には同じ印、等しい角には同じ記号を付け、平行や垂直も明確に示します。頭の中だけで考えず、見える形に変えることで、隠れていた関係が浮かび上がります。

第三は、図形を「動かして」考えることです。

切る、折る、重ねる、回す、裏返すといった操作を想像します。小学生であれば折り紙、積み木、方眼紙、タングラムなどを実際に使うことも効果的です。手を動かした経験は、中学生・高校生になって抽象的な図形を考えるときの土台になります。

第四は、補助線の意味を言葉にすることです。

模範解答にある補助線をそのまま写すだけでは、別の問題には応用できません。

「合同な三角形をつくるため」
「平行線の性質を使うため」
「円の半径を利用するため」
「面積の等しい三角形を見つけるため」

このように、補助線を引く目的まで説明することが重要です。

第五は、一つの問題を別の方法でも解くことです。

図形問題には、相似、合同、面積、三平方の定理、座標、ベクトルなど、複数の解法が存在することがあります。答えが出たところで終わらず、「ほかの見方はできないか」と考えることで、図形を見る視点が増えていきます。

■小学生・中学生・高校生で育てたい力

小学生の算数では、具体物を使い、図を描き、数量の関係を自分の言葉で説明することが大切です。正解を急がせるよりも、「なぜ、その式になるのか」を丁寧に考えさせることが、将来の数学力につながります。

中学生になると、直観的に気づいたことを、数学の言葉で証明する学習が始まります。合同や相似の条件、平行線と角の関係などを使い、「分かっている事実」から「証明したい結論」へ進む力を養います。

高校生では、図形を座標、関数、ベクトル、三角比などの異なる方法で表現します。目に見える図形を数式へ変換し、数式から再び図形の意味を読み取る力が必要です。

このように学年によって学習内容は変わりますが、根底にあるのは、「観察する」「予想する」「試す」「根拠を示す」「振り返る」という共通した思考の流れです。

■間違いを分析することが、数学的思考を強くする

算数・数学の力を伸ばすうえで、間違えた問題は非常に貴重です。

ところが、間違えた答えを消し、正解を書き写すだけで終わってしまう子どもは少なくありません。これでは、同じ間違いを繰り返してしまいます。

計算を間違えたのか。
問題文の条件を読み落としたのか。
図を正しく捉えられなかったのか。
使うべき公式を選べなかったのか。
考え方は正しかったが、説明が不十分だったのか。

間違いの原因を分類すると、自分の思考の癖が見えてきます。

「どこで分からなくなったか」を説明できることは、すでに理解への大きな一歩です。間違いを失敗として隠すのではなく、考え方を改善する材料として扱うことが、論理的思考力を育てます。

■毎日10分から始める「数学的思考」の習慣

論理的思考力や直観力は、短期間に公式を暗記しただけでは身につきません。しかし、毎日の小さな習慣によって確実に育てることができます。

一日一問でも構いません。

問題を読んだら、すぐに計算を始めず、まず図や表にする。答えを予想する。解き方を一行で説明する。解き終わったら、別の方法がないか考える。そして、間違えたときには、その原因を言葉にする。

この積み重ねが、算数・数学だけではなく、国語の読解、理科の考察、社会の資料分析、さらには日常生活で物事を判断する力にもつながります。

■2学期は「考え方」を育てる学習へ

2学期は、どの学年でも学習内容が複雑になります。小学生では分数・割合・速さ・面積、中学生では関数・図形・証明、高校生では二次関数・図形と方程式・三角比・ベクトルなど、複数の知識を組み合わせて考える場面が増えていきます。

だからこそ、夏期講習で復習した基礎を土台にして、2学期からは「答えを出す学習」から「考え方を育てる学習」へ進むことが大切です。

算数・数学の本当の魅力は、公式を覚えて速く計算することだけではありません。複雑に見える問題の中から規則や関係を見つけ、自分の考えを筋道立てて確かめていくことにあります。

直観によって解決への入口を見つけ、論理によって出口までの道筋をつくる。

この二つの力が結びついたとき、子どもは初めて見る問題にも、自分の力で向き合えるようになります。

小金井市・武蔵小金井、前原町の個別指導塾・聡生館では、小学生・中学生・高校生一人ひとりの理解の状態を確認しながら、答えだけではなく、「どのように考えたのか」を大切にした指導を行っています。

算数・数学に苦手意識がある子どもにも、まずは図を描き、気づいたことを言葉にし、小さな「分かった」を積み重ねてもらいます。

数学的思考力は、一部の子どもだけが持つ特別な才能ではありません。適切な問いかけと練習によって、誰もが少しずつ育てることのできる力です。

この夏に身につけた基礎を、2学期の新しい学びへ。

子どもたちが、自分の目で関係を見つけ、自分の頭で考え、自分の言葉で説明できるようになること。それこそが、これからの時代に必要とされる、本当の学ぶ力なのです。